以前、お客様から尋ねられ、答えられなかったことから調べてみました。

【博物館】

簡単に言うと、図書館以外の展示施設は総じて「博物館」になるのです。この中には動物園や植物園なども含まれます。
名乗りについては、特定の展示ジャンルにとどまらず広範に収蔵しているところが何も付かない「博物館」になると思います。ジャンルを美術に絞っていれば、「美術（博物）館」になるわけです。
“美術館と博物館の違いはなく、美術館は博物館の一部である。”

出典【朝日マリオン・コム】美術館 素朴なクエスチョン

（YAHOO知恵袋より抜粋）

【美術館】

美術館とは、博物館の扱う分野のうち、ごく限られた「美術」を独立させた施設。
博物館には大別して歴史系と自然史系があり、歴史の中には考古や経済、政治、文化があって、その文化史の一部を独立させたのが美術館だそうです。
美術館は美術作品を中心に文化的な作品を収集・展示・保存し教育・普及・研究を行う施設を指します。
中には東京都現代美術館のように収集や保存は行っていない美術館もありますが、たいていは収蔵品を常設展示するか、他から作品を借り受けて企画展示を行っています。
また、学芸員や美術作家などによるワークショップなども行い美術教育・普及の活動をしています。

【アートギャラリー】

画廊とも呼ばれ主に画商・美術商が経営しているものが多く、多くは販売目的の企画展示が主。
あるいは貸し画廊も同時に行っているケースも多々あります。
極めて稀に公共的なギャラリーが貸しギャラリーの合間に美術普及を目的とした企画展示を行うケースもあります。

（YAHOO知恵袋より抜粋）